Как разрезать прямоугольник на 3 прямоугольника

Задача 3.

Греческий крест и квадрат. Разрезать греческий крест так, чтобы из кусочков можно было сложить квадрат. а) четырьмя прямыми линиями, используя центральную симметрию; б) двумя прямыми линиями.

Геометрические задачи на логику

Задача 1.

Прямоугольник 4 х 9 и квадрат. Как разрезать прямоугольник со сторонами 4 х 9 на минимальное число частей, чтобы из них сложить квадрат?

Задача 2.

Прямоугольник 1 х 3 и симметричное преобразование в квадрат. Как симметрично разрезать прямоугольник со сторонами 1 х 3 на 9 частей, чтобы из них сложить квадрат?

Задача 4.

Две шестиконечные звезды и шестиугольник. Разрезать правильный шестиугольник на наименьшее число частей так, чтобы составить две шестиконечных звезды.

Задача 5.

Восьмиугольник и квадрат. Большинство предложенных ранее головоломок достаточно легко решается с помощью двухполосного метода наложения. Однако этот метод отнюдь не всегда приводит к желаемому результату. Например, преобразование правильного восьмиугольника в квадрат, вероятно, легче сделать с помощью метода проб и ошибок, используя симметрию восьмиугольника, чем методом наложения двух полос. Можно воспользоваться еще одним методом решения задач на разрезание – методом наложения мозаик. Суть этого очень наглядного и простого метода, позволяющего решать весьма трудные задачи о преобразовании правильных многоугольников, – в наложении двух подходящих (обычно полуправильных) мозаик. Итак, как преобразовать правильный шестиугольник в квадрат так, чтобы число разрезанных частей было наименьшим?

Решения задач.

Поскольку площади прямоугольника и квадрата должны быть равны, то сторона квадрата 6. Поэтому откладываем по 6 на больших сторонах прямоугольника и делаем ступенчатый разрез, о котором можно догадаться, вспомнив о центральной симметрии прямоугольника. Нетрудно убедиться в том, что при произвольных сторонах прямоугольника ступенчатый разрез не позволит составить равновеликий квадрат.

Сначала разрезаем 2 квадрата по диагоналям и 4 полученных треугольника располагаем вокруг оставшегося квадрата, приставив части их гипотенуз к его сторонам. Мысленно соединяем точки прямых углов между собой линиями и вдоль них делаем последние 4 разреза, отрезав от прямоугольных треугольников небольшие тупоугольные треугольники, для которых, как это следует из рисунка, как раз имеются соответствующие местечки.

1 ответ

У меня есть заданный размер ширины представления (например, 450, который я получил от viewWidth = rectOftable.size.width; ), где rectOftable-прямоугольник с размером(ширина высота) представления содержимого. Теперь я создал NSAttributedString, который содержит строку, которая может иметь.

В пространстве 2d есть прямоугольник и круг, которые перекрывают друг друга. Как можно Я вычисляю наименьшее расстояние (глубину), которое мне нужно, чтобы разделить круг и прямоугольник?

Что-то вроде этого. Вам нужно будет поиграть с ним и решить, в порядке ли вы, если внизу не будет идеального квадрата. Это означает отправную точку, а не полное решение.

Я только что прочитал, что вам нужны идентификаторы сетки, поэтому угадайте, как 1,1, поэтому вам придется настроить это в соответствии с вашими потребностями.

как разделить прямоугольник

У меня есть четыре значения широты и долготы, которые создают прямоугольник(область).Теперь я хочу разделить прямоугольник на сетки.

Поэтому я определяю latlong (11.20804, 122.22839),(11.20804, 122.52914),(11.06926, 122.52914),(11.06926, 122.22839) после разделения сеток я хочу дать каждой сетке идентификатор и хочу, чтобы значения широты и долготы каждого grid_id.I изо всех сил пытались разделить прямоугольник на сетки и присвоить им grid_id. Любая помощь будет оценена по достоинству

Похожие вопросы:

Я создал прямоугольник на холсте. Я хотел знать, как мы можем повернуть прямоугольник на 30 градусов. m_ctrlChart.GetCanvas.Rectangle(10, 50, 60, 100); Я не могу найти ни одного API, который помог.

У меня есть координаты, центроид, ограничивающий прямоугольник. Я хочу нарисовать красочный прямоугольник, но не такую рамку, как эта: rectangle(‘Position’, stats(i).BoundingBox. ‘Linewidth’, 3.

Я нарисовал прямоугольник. Это undreneath горизонтальная полоса прокрутки на экране. Теперь я хочу увеличить прямоугольник. При увеличении масштаба высота прямоугольника увеличивается.

У меня есть заданный размер ширины представления (например, 450, который я получил от viewWidth = rectOftable.size.width; ), где rectOftable-прямоугольник с размером(ширина высота).

В пространстве 2d есть прямоугольник и круг, которые перекрывают друг друга. Как можно Я вычисляю наименьшее расстояние (глубину), которое мне нужно, чтобы разделить круг и прямоугольник?

У меня есть прямоугольник R1, с шириной w1, высотой h1. Мне дан меньший прямоугольник R2 (w2, h2), начало которого совпадает с R1, то есть (0,0). Как я могу разделить оставшееся пространство на два.

У меня есть прямоугольник с координатами A,B,C,D, которые соответственно имеют координаты: A-(3,9) B-(6,9) C-(6,6) D-(3,6) где A-верхняя левая координата, А D-нижняя левая.

Я пытаюсь разделить прямоугольник с определенными координатами на 8 меньших прямоугольников (два столбца и четыре строки). Входными данными, например, будут: rec = [(0, 0), (0, 330), (200, 330).

Я пытаюсь разделить прямоугольник таким образом, чтобы он делился поровну. Я также не знаю, можно ли разбить прямоугольник svg? Это код svg:

я хочу закодировать видеоплатформу, и у меня есть проблема, и я не могу придумать решение прямо сейчас. Я хочу разделить прямоугольник на равные части Придумал решение для квадрата, но я не могу.

Решение

Как уже было отмечено в подсказке, эта задача вовсе не по геометрии (как могло бы показаться), а по линейной алгебре. Причем, решается она довольно просто. Нужно лишь не побояться сначала ввести много обозначений.

Итак, пусть x и y. ширина и высота большого прямоугольника, которые мы ищем. Пронумеруем квадраты, как показано на рисунке 1, и обозначим сторону квадрата с номером i через z i. Переменные уже есть. А откуда взять уравнения? Посмотрим внимательно на рисунок 1: видно, что некоторые стороны квадратов «хорошо» примыкают друг к другу. Например, белый квадратик дополняет сторону красного квадрата до стороны оранжевого. Еще пример: белый вместе с желтым по высоте занимают столько же, сколько голубой с пурпурным. Эти условия стыковки и позволяют написать уравнения. Получится система линейных уравнений, которую запишем в два приема. Сначала выпишем уравнения, которые отвечают вертикальным стыкам:

Последнее уравнение описывает примыкание третьего и восьмого квадратов к правой стороне прямоугольника. Но оно следует из предыдущих уравнений (проверьте это), поэтому далее его не учитываем. Теперь выпишем уравнения на горизонтальные стыки (условие для нижней стороны пропускаем по той же причине):

READ  Как разрезать трубу вдоль пополам

Объединим всё в одну систему, из которой нам и нужно найти x и y :

Для решения систем линейных уравнений давно придумано множество методов. Но в нашем случае можно обойтись и без привлечения мощных теорий, а просто последовательно выражать одни переменные через другие и делать соответствующие подстановки, постепенно упрощая систему. Удобно выражать переменные через z 5: z 2 = 1 z 5. значит z 1 = 2 z 5. значит z 4 = 3 z 5. Уже можно явно вычислить сторону голубого квадрата: z 6 = 1 z 4 – z 5 = 4. Продолжая в том же духе, несложно найти стороны остальных квадратов, а вместе с ними и стороны прямоугольника: x = 32, а y = 33.

Разрезание прямоугольника. Разрезание прямоугольника Подумай как можно разрезать желтый

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике: В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Маленькие фигуры очень похожи на букву Т

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике : Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике : Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.

разрезать, прямоугольник

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике : нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче. :

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать. :

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Страница 26 Задание 4 – Математика 3 класс Моро – Учебник Часть 2

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике : Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие : Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной косильной лески. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам. Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста.

Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1.

Подсказка

Можно, конечно, просто взять линейку и измерить длины отрезков на рисунке, но этот способ не очень хороший по двум причинам. Во-первых, точность таких измерений не слишком высока и ответ получится лишь приближенный. Во-вторых, если бы в нашем распоряжении оказалась картинка «под углом», то истинные длины сторон на ней были бы искажены, и тогда пришлось бы еще думать, что делать с измерениями. Но можно найти стороны прямоугольника абсолютно точно, и знать для этого необходимо только схему разрезания. Для этого нужно составить систему уравнений, приняв за неизвестные длины сторон квадратов и прямоугольника.

READ  Чем можно разрезать трубу металлопластик

Послесловие

Возможно, решение этой задачи поможет вам сделать что-нибудь вроде такого шкафа:

Вообще, вопросы о разрезаниях разных фигур на специфические части обычно бывают интересными и красивыми. Причем рассчитаны они могут быть на самую разную аудиторию: задачки такого рода часто дают на математических кружках, но, как мы только что убедились, бывают и не очень «кружковские» задачи.

Про разрезания именно прямоугольников известно многое. Вполне очевидно, что если отношение сторон прямоугольника рационально. то его можно разрезать на одинаковые квадраты. А если можно резать на необязательно одинаковые квадраты, то что тогда? В 1903 году Макс Ден (Max Dehn) доказал, что и в этом случае отношение сторон прямоугольника должно быть рационально (кстати, имя этого немецкого математика уже встречалось ранее в одной из задач на «Элементах»). Его доказательство было сложным, но позднее был придуман более простой способ. Вкратце его суть такова. Оказывается, по любому разрезанию прямоугольника можно построить специальную электрическую цепь, и это сопоставление настолько удачно, что условия состыкования сторон квадратов идентичны правилам Кирхгофа для этой цепи. Поскольку эти правила позволяют полностью рассчитать электрическую цепь, то это позволяет найти и размеры квадратов. Подробнее об этом можно прочитать в статье М. Скопенкова, М. Прасолова и С. Дориченко «Разрезания металлического прямоугольника» («Квант». 2011), на основе которой был подготовлен этот материал.

Есть еще одна похожая по формулировке задача про разрезание прямоугольников: прямоугольник как-то разрезан на прямоугольники, причем известно, что хотя бы одна из сторон каждого из них имеет целую длину; требуется доказать, что тогда и у большого прямоугольника будет целая сторона. А вот решение у нее довольно далекое от рассмотренных выше идей. Если у вас не получится решить эту задачу, то прочитать ее решение можно, например.

Самый простой и распространенный способ лист. это при помощи ножниц. Однако следует учесть, что при помощи ножниц очень трудно будет получить прямую леску среза, если вы предварительно не прочертили ее на бумаге при помощи линейки. Но и в этом случае идеально ровная леска у вас вряд ли получится. Нужно вырезать кривую или фигурную леску? Тогда этот способ подойдет в самый раз.

Чтобы разрезать лист бумаги на две ровные и одинаковые половинки, следует согнуть его на две части. Затем леску сгиба следует аккуратно, но сильно пригладить мягкой резинкой или гладилкой. Далее нужно вложить в сгиб лезвие ножа и резким движением разрезать лист. Этот способ также имеет некоторые недостатки, которые отображаются в виде слегка ворсистых краев разрезанной бумаги.

Третий способ разрезать лист бумаги ровно и точно будет наиболее эффективен по сравнению с двумя предыдущими. Теперь вам понадобится металлическая линейка и остро заточенный нож. Прикладываем одной рукой металлическую линейку к поверхности бумаги в том месте, где ее необходимо разрезать, крепко нажав на нее, чтобы линейка не скользила по поверхности. Далее резким и отточенным движением другой руки, в которой у нас нож, разрезаем лист бумаги, ведя нож по краю металлической линейки.

Работа с острым ножом, да и с другими острыми предметами, требует особой внимательности и аккуратности. Всегда старайтесь соблюдать элементарные правила техники безопасности.

Желательно также иметь под рукой аптечку первой помощи (йод, бинт, вату), необходимую для того, если вы вдруг поранитесь.

  • резинки на сапогах как разрезать

При работе с переплетными материалами необходимо уметь ровно и качественно нарезать бумагу, чтобы готовая пачка была аккуратной и симметричной. Для нарезания бумаги, которая впоследствии будет переплетена, используйте специальную металлическую линейку или уголок, а также остро заточенный на станке переплетный нож. Нарезайте бумагу только на ровной поверхности, а также следите за тем, чтобы не травмировать себя острым ножом.

Уложите пачку бумаги на гладкую поверхность – например, на лист шлифованной фанеры, а затем по линейке начертите очень острым леску, по которой вы будете разрезать бумагу. Совместите с этой линией металлический уголок и прижмите его широко разведенными пальцами левой руки к бумаге как можно сильнее.

Возьмите нож в правую руку, четырьмя пальцами обхватите рукоять, а указательный палец положите на верхний край лезвия. Поставьте нож под углом в 30-40 градусов по отношению к поверхности стола, а затем сдвиньте его по направлению к себе так, чтобы левый край лезвия был прижат к полке уголка и не сдвигался в сторону.

Для того чтобы разрезать толстую пачку бумаги, нужно несколько раз проводить ножом по краю линейки, при этом продолжая удерживать ее плотно на том месте, на котором она была изначально, чтобы все листы были разрезаны на одном уровне.

Делая одно движение ножом, вы разрезаете несколько листов. Чем тоньше бумага, тем больше листов вы сможете разрезать за один раз. Разрезая бумагу, не давите слишком сильно на нож – это ухудшает качество готовой работы и тратит ваши силы.

Режьте бумагу краем ножа, который находится в 15-20 мм от кончика лезвия. Для того чтобы наработать технику правильного разрезания бумаги, начинайте учиться на небольшой стопке, толщина которой не превышает 4-5 мм.

Затем добавляйте к стопке бумагу, чтобы ее толщина достигала 12-15 мм. Постепенно вы научитесь ровно и аккуратно нарезать и более толстые стопки бумаги.

Подсказка

Три прямоугольника — это немного, поэтому можно перебрать случаи расположения их в квадрате и проверить, могут ли в каждом из случаев прямоугольники быть подобными.

Задача

Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.

READ  Как Переделать Зарядное Устройство Для Шуруповерта

Решение

Если немного порисовать разбиения квадрата на три прямоугольника, чтобы понять, как они вообще могут в нем располагаться, то довольно быстро можно прийти к тому, что есть всего два разных случая (с точностью до поворотов квадрата). Действительно, к верхней стороне квадрата могут примыкать три, два или один прямоугольник. Если их три, то получается конфигурация, показанная на рис. 1 слева. Если два, то — конфигурация, показанная на этом рисунке справа. Если же к верхней стороне примыкает только один прямоугольник, то два других располагаются под ним, а их общая сторона либо горизонтальна (и тогда это то же самое, что первая конфигурация), либо вертикальна (тогда это то же самое, что вторая конфигурация).

Про первую конфигурацию сразу ясно, что все три прямоугольника равны друг другу: по условию они должны быть подобны, но из расположения получается, что равны их большие стороны.

Разберемся со второй конфигурацией. Будем считать ориентацией прямоугольника направление его более длинной стороны (ясно, что у нас тут фигурируют только вытянутые прямоугольники, у которых одна сторона длиннее другой). Как могут быть ориентированы два верхних прямоугольника?

Они не могут быть оба вертикальными (как на рис. 1), потому что тогда они будут равны (большие стороны совпадают), и поэтому отношение большей стороны к меньшей у них меньше 2 (так как меньшая сторона равна половине стороны квадрата, а большая не больше целой стороны квадрата). А у нижнего прямоугольника это отношение будет больше 2. Значит, он не может быть подобным верхним.

Они могут быть оба горизонтальными (рис. 2, слева). Тогда два верхних прямоугольника опять равны и несложно посчитать, что для того, чтобы все три прямоугольника были подобными, нужно, чтобы стороны каждого относились друг к другу как 3:2.

Наконец, может ли быть так, что один из верхних прямоугольников горизонтальный, а второй — вертикальный? Проверим. Эта ситуация изображена на рисунке 2 справа. Введем обозначения, как этом рисунке. Учитывая подобие прямоугольников, находим:

Поскольку стороны квадрата равны, получаем равенства:

Правое равенство позволяет выразить y:

после чего из левого равенства получается уравнение

У этого кубического уравнения один действительный корень \(\rho\approx1,3247\ldots\), так что такой случай реализуется. Итого, есть три способа разрезать квадрат на подобные прямоугольники.

Послесловие

Поскольку для кубических уравнений известны формулы, дающие точные решения, то можно быть уверенным, что корень есть и он один. В радикалах это число записывается так:

Также его можно записать и в виде бесконечной последовательности вложенных друг в друга радикалов:

Интересно, что у этого числа есть свое «имя»: голландский архитектор (и по совместительству монах) Ганс ван дер Лаан (Hans van der Laan) назвал его пластичным числом (plastic number). Ван дер Лаан создал не очень много зданий и в основном это были церкви, но его теоретические работы имели определенный вес. В частности, он разработал теорию гармоничных соотношений между элементами здания, в которой пластическое число играло центральную роль.

Математика 3 класс. Равносоставленные и равновеликие фигуры

Такое название по его задумке отражало то, что этому числу можно придать геометрические «формы». С одним примером такой формы мы познакомились в задаче. Другой пример возникает так. Допустим, что имеется неограниченный запас коробок (прямоугольных параллелепипедов) разных размеров с целыми длинами сторон. Начнем с коробки 1×1×1, приставим к ней сбоку еще одну такую коробку — получится коробка 2×1×1. Приставим к ней спереди такую же, чтобы получилась коробка 2×2×1. Приставим к ней снизу коробку 2×2×2, чтобы получилась коробка 2×2×3. Далее нужно продолжать так: приставлять новые коробки поочередно сбоку, спереди, снизу, а размер их выбирать так, чтобы два измерения (это размеры грани, к которой приставляется очередная коробка) совпадали с измерениями текущей коробки, а третье измерение было таким, каким получилось изменившееся измерение за два «хода» до этого. Первые шаги показаны на рисунке 4. Например, пятым «ходом» справа приставляется коробка 2×2×3 и ее «длина» (измерение вдоль стрелочек на этом рисунке) равна 2, потому что за два хода до этого у коробки получилась «ширина», равная 2 (это правая коробка в верхнем ряду).

Если продолжать этот процесс, то размеры коробок будут, естественно, увеличиваться. Но вот отношения их сторон («соседних» по длине, как показано на рис. 4) будут стремиться к конечному пределу, которым и является пластическое число.

Идея обоснования следующая. Заметим, что размеры коробок — это тройки стоящих рядом чисел из последовательности 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16. Если обозначить n-й член этой последовательности Pn, то при n 3 выполняется равенство Pn = Pn−2 Pn−3. Точнее, это линейное рекуррентное соотношение и задает эту последовательность, которая называется последовательностью Падована (Padovan sequence). Оказывается, можно выразить общий член рекуррентной последовательности через корни ее характеристического многочлена. По указанным ссылкам можно подробнее ознакомиться с этой темой, сейчас важно лишь, что для данной последовательности характеристический многочлен такой: \(x^3-x-1\), а его действительный корень, как мы знаем, — пластическое число ρ. Поэтому, кстати, последовательность степеней этого числа 1, ρ, ρ 2. ρ 3 удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (из этого наблюдения на самом деле и проистекает метод выражения члена последовательности через корни многочлена). У этого многочлена есть и два комплексных корня. Если их обозначить через q и s, то при некоторых константах a, b, c равенство Pn = aρ n bq n cs n будет верно при всех натуральных n. Но поскольку комплексные корни q и s по модулю меньше 1, их степени стремятся к нулю с ростом n.

В этом смысле пластическое число для последовательности Падована — это то же самое, что другое (и куда более известное) «архитектурное» число — золотое сечение — для последовательности Фибоначчи (а серебряное сечение — для чисел Пелля).

Еще о свойствах пластического числа можно почитать в статье V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane.